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FUNCIONES ISOPARAMÉTRICAS Y ECUACIONES DE TIPO YAMABE
HECTOR MAURICIO BARRANTES GONZALEZ
Acceso Abierto
Atribución-NoComercial
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Ecuación de Yamabe
Se prueba la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones en derivadas parciales no-lineales en variedades Riemannianas. Las ecuaciones que se consideran son similares a la ecuación de Yamabe. La ecuación de Yamabe aparece al estudiar la existencia de métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme [g] de una métrica Riemanniana g en una variedad M. Resolver esta ecuación es de gran interés geométrico y de una gran complejidad técnica, debido a la aparición del exponente crítico de Sobolev, que hace el problema interesante también desde un punto de vista analítico. Gracias a los trabajos de H. Yamabe, N. Trudinger, T. Aubin, R. Schoen, se sabe que la ecuación tiene al menos una solución para cualquier variedad Riemanniana cerrada, y muchos trabajos se han realizado estudiando el espacio de todas las soluciones de la ecuación. También es de interés geométrico y analítico encontrar soluciones nodales, es decir, soluciones que cambian de signo, de la ecuación de Yamabe. Con esta motivación, estudiamos la ecuación de Yamabe sobre productos de esferas y ecuaciones de tipo Yamabe (con exponente subcrítico), sobre productos de esferas y sobre el espacio proyectivo complejo. En el caso del producto de esferas, mostramos la existencia y multiplicidad de soluciones positivas y existencia de soluciones degeneradas, de la ecuación de tipo Yamabe, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno del grupo O(n+1), que dependen no trivialmente de ambos factores. Esto es particularmente importante, porque es un problema fundamental en la teoría de la ecuación de Yamabe, entender si en ciertas situaciones las soluciones a la ecuación en productos Riemannianos, sólo dependen de uno de los factores. Obtenemos también resultados de multiplicidad de soluciones nodales de la Ecuación de Yamabe, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno del grupo O(n+1), que dependen no trivialmente de ambos factores. En el caso del espacio proyectivo complejo, mostramos la existencia y multiplicidad de soluciones positivas y existencia de soluciones degeneradas, invariantes bajo la acción de cohomogeneidad uno, del grupo U(n).
26-11-2018
Trabajo de grado, doctorado
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