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http://cimat.repositorioinstitucional.mx/jspui/handle/1008/1059| De la Mecánica Geométrica a los Algoritmos de Optimización Geométrica | |
| Jeisson Andrés Molano Guzmán | |
| Acceso Abierto | |
| Atribución-NoComercial | |
| Geometría Simpléctica Geometría de Contacto | |
| La geometría de la información utiliza la geometría diferencial para estudiar problemas en estadística, ciencia de datos, Machine Learning y otros campos relacionados. En este trabajo se estudió la relación entre la geometría de la mecánica y la geometría de la información, para ello se utilizó las funciones de divergencia, las cuales permiten inducir una estructura simpléctica y de contacto sobre las variedades en uso en geometría de la información. Este es el primer paso para construir una dinámica Hamiltoniana sobre dichas variedades, lo cual hemos aplicado luego para construir algoritmos de optimización de forma geométrica. Esta línea de investigación ha crecido mucho en los últimos años, en especial en la comunidad que trabaja con Machine Learning, donde los algoritmos de optimización son fundamentales para entrenar la máquina. Se ha visto en particular que muchos de los algoritmos más usados, como por ejemplo el momento clásico o el método del gradiente acelerado de Nesterov son discretizaciones de sistemas dinámicos Hamiltonianos con diferentes tipos de disipación. Esto ha motivado empezar la investigación desde la perspectiva geométrica y de los sistemas dinámicos, lo cual facilita el estudio de las tasas de convergencia, y luego usar los métodos de discretización geométricos para obtener algoritmos que estén garantizados preservar dichas tasas. Se tienen dos resultados principales en el trabajo: El primero es inducir una 2-forma simpléctica sobre la variedad M \times M con la ayuda de una función de divergencia, y de manera análoga encontramos que se puede inducir una 1-forma de contacto sobre M \times M \times \mathbb{R} y que utilizamos para hacer optimización continua. En el segundo se propone un sistema Hamiltoniano de contacto que se construye a partir de las divergencias de Bregman y se prueba que el flujo de este sistema converge al mínimo de la función convexa que se pretende optimizar con una tasa de convergencia exponencial, extendiendo y aclarando algunos de los resultados encontrados en la bibliografía. | |
| 30-06-2020 | |
| Trabajo de grado, doctorado | |
| OTRAS | |
| Versión aceptada | |
| acceptedVersion - Versión aceptada | |
| Aparece en las colecciones: | Tesis del CIMAT |
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