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http://cimat.repositorioinstitucional.mx/jspui/handle/1008/1073| DIAGRAMAS DE HEEGAARD CON CURVAS CARACTERÍSTICAS NO ANUDADAS Y GRUPO FUNDAMENTAL TRIVIAL | |
| Esteban Heredia Muñoz | |
| Acceso Abierto | |
| Atribución-NoComercial | |
| MATEMÁTICAS BÁSICAS | |
| Los diagramas y descomposiciones de Heegaard son una herramienta que nos permite estudiar espacios topológicos por medio de curvas y superficies. Consisten esencialmente en descomponer a un espacio en dos cubos con asas de igual género sobre los cuales se encajan curvas características que sirven como guía para recuperar al espacio original. Respecto al género de los cubos con asas, hay casos ya estudiados y totalmente clasificados para estos diagramas, que son con género 0 y 1 (estos últimos son los llamados espacios lente). El presente trabajo muestra una clasificación de diagramas de Heegaard para el caso con género 2, con la condición adicional de que los diagramas posean grupo fundamental trivial y además las curvas características sean no anudadas (viéndolas como subespacios de R^{3}) y tengan una expresión como = x^{n}y^{m} en el grupo fundamental del diagrama. Analizaremos esta cuestión desde distintos puntos de vista que van altamente ligados, pasando de aspectos geométricos-topológicos a combinatorios y/o algebraicos, con lo que describiremos la forma en la que se plasman las curvas características de un diagrama y a partir de ahí obtener condiciones para deducir sobre si su grupo fundamental es trivial. Partimos dando conceptos y resultados básicos para la construcción y desarrollo de las proposiciones más importantes. Entre estos se incluyen teoremas sobre presentaciones de grupos, las transformaciones de Tietze, teoremas sobre triangulaciones, conexidad y torceduras de Dehn, entre otras. Luego nos enfocamos en diagramas de Heegaard y en cómo construir curvas sobre superficies cerradas orientables de género 2. Aquí empezaremos a introducir el objetivo principal de la tesis, para el cual distinguiremos todos los diagramas de Heegaard con curvas no anudadas de la forma w = x^{n}y^{m}. Para demostrar este resultado es necesario verificar (o refutar) la existencia de ciertos casos que tienen sentido teórico, por lo que recurriremos a probar algunas proposiciones previas. En esta parte y conforme avancemos, nos daremos cuenta de que el problema a tratarse es restringido, dejando cuestiones libres que aún pueden ser estudiadas. Al final del trabajo damos a conocer unos de estos casos peculiares y ajenos al resultado principal donde se presentan curvas anudadas, donde ya sea que una o ambas curvas sean anudadas (de nuevo considerándolas como subespacios de R^{3}). Solo describimos un tipo de sistema de curvas, con una curva anudada y otra no, que in | |
| 08-06-2020 | |
| Trabajo de grado, maestría | |
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